球的表面积公式怎么算 球的表面积公式积分推导过程

大家好！关于球的表面积公式怎么算的认知可能还不够全面，但是没关系，今天我将为大家介绍一系列球的表面积公式怎么算的概念及其应用，希望可以拓宽大家的知识视野。

1. 球表面积的公式是怎么推导出来的？？ 微积分法
2. 球体的体积、表面积怎么算？求公式。
3. 球体的体积怎么计算？
4. 如何计算球的面积和体积？

球表面积的公式是怎么推导出来的？？ 微积分法

解：设球半径为a，圆心位于原点，则其上半部的方程为z=(a^2-x^2-y^2)^0.5.

dz/dx=-x/(a^2-x^2-y^2)^0.5,dz/dy=-y/(a^2-x^2-y^2)^0.5.由此得，球体表面积为：a=2∫∫(d)a/(a^2-x^2-y^2)^0.5dρ。(曲面面积计算公式，楼主应该知道吧)其余部分详见图。

球体的体积、表面积怎么算？求公式。

把一个半径为r的球的上半球切成n份

每份等高

并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径

则从下到上第k个圆柱的侧面积s(k)=2πr(k)*h

4∏r^3)/3

至于如何证明，可以用微积分来证明。但是很早之前，我国著名的数学家祖冲之创造出了“牟合方盖”的球体体积求算思路，但最终未能完成，后由他的儿子祖暅沿着父亲的思路锲而不舍地迈进，终于攻下了这一难度极高的课题，得到了著名的等积原理“缘幂势既同，则积不容异”(两个几何体在任何等高处的截面积都相等，则两个几何体的体积也相等，即胖子理论)，并由此而求得了球体体积公式。具体证明过程清参看下面网址

参考资料：

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_01_4_01/page2.html

其中h=r/n

r(k)=根号[r^-(kh)^]

s(k)=根号[r^-(kr/n)^]*2πr/n

=2πr^*根号[1/n^-(k/n^)^]

则

s(1)+s(2)+……+s(n)

当

n

取极限（无穷大）的时候就是半球表面积2πr^

乘以2就是整个球的表面积

4πr

球体的体积怎么计算？

球的体积公式: v球=4/3 π r^3

球的面积公式: s球=4π r^2

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附:推导过程(可能会看不懂(涉及到了大学的微积分),就当学点知识吧,呵呵)

1．球的体积公式的推导

基本思想方法：

先用过球心 的平面截球 ，球被截面分成大小相等的两个半球，截面⊙ 叫做所得半球的底面．

（l）第一步：分割．

用一组平行于底面的平面把半球切割成 层．

（2）第二步：求近似和．

每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积，它们的和就是半球体积的近似值．

（3）第三步：由近似和转化为精确和．

当 无限增大时，半球的近似体积就趋向于精确体积．

（具体过程见课本）

2．定理：半径是 的球的体积公式为： ．

3．体积公式的应用

求球的体积只需一个条件，那就是球的半径．两个球的半径比的立方等于这两个球的体积比．

球内切于正方体，球的直径等于正方体的棱长；正方体内接于球，球的半径等于正方体棱长的 倍（即球体对角钱的一半）；棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ，外接球半径为 ．

也可以用微积分来求，不过不好写

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球体面积公式:

可用球的体积公式+微积分推导

定积分的应用：旋转面的面积。好多课本上都有，推导方法借助于曲线的弧长。

让圆y＝√(r^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤r^2。求球的表面积。

以x为积分变量，积分限是[－r，r]。

在[－r，r]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。

所以球的表面积s＝∫<－r，r>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到s＝4πr^

如何计算球的面积和体积？

球的表面积计算公式：s=4πr²

球的体积计算公式：v=4πr³/3

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