球的表面积公式推导_球的表面积公式推导过程微积分

大家好！关于球的表面积公式推导的理解可能还不够深入，但是别担心，我将为大家分享一些关于球的表面积公式推导的知识点，希望能够解答您的疑虑和问题。

1. 球壳外表面积怎样计算
2. 球的体积与表面积均为其外切圆柱体积与表面积的三分之二什么意思
3. 关于球的表面积公式
4. 球的表面积公式是怎样推导出来的

球壳外表面积怎样计算

把一个半径为r的球的上半球横向切成n份,每份等高

并且把每份看成一个圆柱,其中半径等于其底面圆半径

则从下到上第k个圆柱的侧面积s(k)=2πr(k)×h

其中h=r/n ,r(k)=√[r²;-﹙kh²;]

s(k)=√[r²;-(kr/n)^2;]×2πr/n

=2πr²;×√[1/n²;-(k/n²)²;]

则 s(1)+s(2)+……+s(n) 当 n 取极限（无穷大）的时候,

半球表面积就是2πr²乘以2就是整个球的表面积 4πr²。

球的体积与表面积均为其外切圆柱体积与表面积的三分之二什么意思

半径是r的球的体积

计算公式是：v=（4/3）πr^3(三分之四乘以π乘以r的三次方)。

半径是r的球的表面积

计算公式是：s=4πr^2（4倍的π乘以r的二次方）

球的体积公式的推导方法

不能上传图

左右是夹在两个平行平面间的两个几何体（左图是半径为r的半球，右图是一个中间被挖去一部分的圆柱，其中，圆柱底面半径为r，高为r，挖去部分是一个圆锥，底面半径为r，高为r，）

用平行于这两个平行平面的任何平面去截这两个几何体，则左图所截面为一个圆，右图所截面为一个圆环。

图的中间部分为这两个几何体的正视图。

则s圆=πad^2=π（ae^2-de^2）=π（r^2-h^2）

（h代表截面的高度）

s环=πki^2-πni^2=πr^2-πh^2=π（r^2-h^2

方程式

（易证ni=ji=h）

所以s圆=s环

在根据祖暅原理便可得

v半球=πr^3-πr^3/3=2/3*πr^3

v球=4/3*πr^3

一个球的体积=2/3这个球的外切圆柱的体积

一个球的表面积=2/3这个球的外切圆柱的表面积

关于球的表面积公式

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问题描述:

球的表面积公式，其推导方式在高中课本上是这样的：依照纬线把球分成许多个圆台，所有圆台侧面积之和即球的表面积：4πr2。

我们也可以这样：依照经线和赤道把球面分成许多个小三角形，所有小三角形面积之和即球的表面积。可这样推导出来的结果是:π2r2。

谁能为我解答？

解析:

“经线和赤道把球面分成许多个小三角形”这里有问题，一旦分得很细的时候，三角形萎缩成线，那么面积微元 ds = 2πr*rdθ，积分区间为(0,π) 则 s = 2(πr)^2，看上去很合理，其实只要注意到“两极地区”被无数次夸大——相当于使用很细的圆环构造球形，两级地区重叠多次，并不是球的面积了....

关键：积分不能有重叠计算。

..................补充.................

你得到的结果是半个球体。如果是使用三角形面积公式得到面积微分元ds，那么就存在一个问题：球面空间三角形面积公式不是平直空间那个二分之一底乘高了。

常见计算方法：

取“纬度线”累积处理，每个“纬度线”面积微元ds = 2πrcosθ*rdθ，积分区间θ = (-π,+π)。

s = 2πr^2*sinθ|(-π,+π) = 4πr^2

球的表面积公式是怎样推导出来的

将圆球切成无数个小圆环，圆环的宽度为rdθ(弧微元),长度为圆的周长2πrsinθ

面积微元:

ds=2πrsinθ(rdθ)=2π(r^2)sinθdθ

积分得:

s表=∫[0,π]2π(r^2)sinθdθ=2π(r^2)∫[0,π]sinθdθ

=-2π(r^2)cosθ|[0,π]

=4πr^2

关于球的表面积公式推导和球的表面积公式推导的介绍到这里就结束了，希望你能从中找到你所需的信息。如果你还想了解更多相关内容，请记得收藏并关注本站，我们将持续更新。