球的体积公式推导过程 球的体积公式推导过程积分

欢迎大家！我知道很多人对于球的体积公式推导过程有一些疑问，但是请放心，我会在今天的分享中向大家传授一些关于球的体积公式推导过程的基本原理和实用技巧，希望能给您带来帮助。

1. 球的体积公式推导过程是什么?
2. 球的体积公式推导过程是什么?
3. 球的体积公式推导过程
4. 球体的体积是怎么推导出来的?

球的体积公式推导过程是什么?

分析如下：

把一个半径为r的球体中心点在坐标原点o上表面分割成许多小块，每一小块的面积为ds，ds四个顶点a,b,c,d之间的距离ab=bc=cd=da，四个角度相等，由o点指向a,b,c,d所张的立体角为dΩ，这样ds=dΩr。

把四个顶点和o点连接，形成一个接近四棱锥体【体积为hl/3 ，h是四棱锥体的高，l是四棱锥体的底面积】的微小体积dv，当分割的无限细密，ds接近零时候，ds= l，h = r, 并且：

hl/3=dΩr=dv。

dv是球的体积元素，对dv环绕一周【角度为4π】积分，就是求的体积公式。

∮dΩr/3=4πr/3。

微积分相关：

（1）定积分和不定积分

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

（2）常微分方程与偏微分方程

含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。

球的体积公式推导过程是什么?

球的体积公式推导过程：v=4/3×πr^3。

欲证v=4/3×πr^3，可证1/2v=2/3×πr^3。做一个半球h=r，做一个圆柱h=r。v柱-v锥=π×r^3-π×r^3/3=2/3π×r^3。若猜想成立，则v柱-v锥=v半球。

根据祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所得的两个截面面积相等，那么，这两个立体图形的体积相等。若猜想成立，两个平面：s1(圆)=s2(环)。

一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体，简称球，半圆的半径即是球的半径。球体是有且只有一个连续曲面的立体图形，这个连续曲面叫球面。

球体在任意一个平面上的正投影都是等大的圆，且投影圆直径等于球体直径。

球心和截面圆心的连线垂直于截面。

球心到截面的距离d与球的半径r及截面的半径r有下面的关系：r^2=r^2-d^2。

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。

在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

球的体积公式推导过程

1解：将一个底面半径r高为r的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎。剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等。等出它们体积相等的结论。而那个被挖体的体积好求。就是半球体积了。v＝2/3πr^3 。因此一个整球的体积为4/3πr^3 球是圆旋转形成的。圆的面积是s=πr^2，则球是它的积分，可求相应的球的体积公式是v=4/3πr^3

2解：将球挖个小眼，灌满水，然后将水倒进量杯就算出体积拉！！！

球体的体积是怎么推导出来的?

1．球的体积公式的推导

基本思想方法：

先用过球心 的平面截球 ,球被截面分成大小相等的两个半球,截面⊙ 叫做所得半球的底面．

（l）第一步：分割．

用一组平行于底面的平面把半球切割成 层．

（2）第二步：求近似和．

每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”,我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积,它们的和就是半球体积的近似值．

（3）第三步：由近似和转化为精确和．

当 无限增大时,半球的近似体积就趋向于精确体积．

（具体过程见课本）

2．定理：半径是 的球的体积公式为：．

3．体积公式的应用

求球的体积只需一个条件,那就是球的半径．两个球的半径比的立方等于这两个球的体积比．

球内切于正方体,球的直径等于正方体的棱长；正方体内接于球,球的半径等于正方体棱长的 倍（即球体对角钱的一半）；棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球半径为 ．

也可以用微积分来求,不过不好写

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